Lineer cebirde, null space ve column space kavramları, matrislerin ve lineer dönüşümlerin özelliklerini anlamak için önemli olan iki temel alt uzayı temsil eder. Bu kavramlar, matrislerin ve lineer dönüşümlerin yapısal özelliklerini ve lineer denklemler sistemlerini çözmede kullanılırlar. Null space ve column space arasındaki farklar, temelde matrisin farklı yönlerini temsil etmelerinden kaynaklanır. Şimdi, bu kavramların detaylarına ve farklarına daha yakından bakalım.
Null Space:
Null space veya kernel, bir lineer dönüşümün veya bir matrisin “sıfır”a eşit olan girdilerinin oluşturduğu bir alt uzaydır. Null space, bir matris veya lineer dönüşümün “nullity” adı verilen boyutunu belirtir. Null space, homojen bir lineer denklem sisteminin çözüm kümesini oluşturur. Yani, Ax = 0 denklemindeki x vektörlerinin tümü null space içinde yer alır.
Null space’in ana özellikleri şunlardır:
-
Lineer Bağımsızlık: : Null space içindeki vektörler, birbirinden lineer olarak bağımsızdır. Yani, herhangi bir vektör, diğer vektörlerin lineer kombinasyonuyla elde edilemez.
-
Sıfır Vektörü İçerir: : Null space her zaman sıfır vektörünü içerir, çünkü A * 0 = 0 her durumda geçerlidir.
-
Boyut: : Null space’in boyutu, matrisin sütun sayısının nullity’sine eşittir. Nullity, matrisin sütunlarının lineer olarak bağımsız olmayan en büyük alt kümesinin boyutudur.
Column Space:
Column space veya sütun uzayı, bir matrisin sütunları tarafından oluşturulan tüm vektörlerin kümesidir. Column space, bir lineer dönüşümün imajını veya matrisin sütunlarının oluşturduğu uzayı temsil eder. Bu uzay, matrisin “rank”ını belirtir.
Column space’in ana özellikleri şunlardır:
-
Lineer Bağımsızlık: : Column space içindeki sütunlar, lineer olarak bağımsızdır. Bu, herhangi bir sütunun, diğer sütunların lineer kombinasyonuyla elde edilemeyeceği anlamına gelir.
-
Matrisin Sütunlarını Temsil Eder: : Column space, matrisin sütunlarının oluşturduğu uzayı temsil eder. Bu nedenle, matrisin sütun sayısı, column space’in boyutunu belirler.
-
Boyut: : Column space’in boyutu, matrisin rankına eşittir. Rank, matrisin sütunlarının lineer olarak bağımsız olan en büyük alt kümesinin boyutudur.
Farklar:
-
Tanım: : Null space, bir matrisin nullity’sini temsil ederken, column space, matrisin rankını temsil eder.
-
Oluşum: : Null space, matrisin sütunlarının lineer bağımsız olmayan kombinasyonlarıyla oluşturulurken, column space, matrisin sütunlarının lineer bağımsız kombinasyonlarıyla oluşturulur.
-
Boyut: : Null space’in boyutu, matrisin sütun sayısının nullity’sine eşittir. Column space’in boyutu ise matrisin rankına eşittir.
-
İlişki: : Null space ve column space, genellikle temel teorem olarak bilinen lineer cebirin temel teoremiyle ilişkilidir. Bu teorem, bir matrisin rankı ve nullity’si arasında bir ilişki kurar: Rank + Nullity = Sütun Sayısı.
Bu farklar, null space ve column space’in temel özelliklerini ve farklarını anlamamıza yardımcı olur ve bu kavramların lineer cebirdeki önemini vurgular.