Öklidyen ve manhattan normları arasındaki fark nedir?

Öklid ve Manhattan normları, matematikte ve bilgisayar bilimlerinde sıkça kullanılan iki farklı metrik veya uzaklık ölçüsüdür. Bu normlar, farklı bağlamlarda ve problemlerde kullanılırken, her birinin kendine özgü özellikleri vardır ve farklı alanlarda avantaj sağlarlar. Öklid ve Manhattan normları arasındaki farkları anlamak için her birini ayrı ayrı ele alarak başlayalım.

Öklid normu, Avrupa’nın Büyüğü olan Pythagoras tarafından keşfedilen ve Euclidean uzayındaki mesafeyi ölçmek için kullanılan temel bir uzaklık ölçüsüdür. İki nokta arasındaki Öklid uzaklığı, doğru bir çizgi üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi ifade eder. Öklid normu, iki nokta arasındaki doğru mesafeyi hesaplamak için kullanılır ve genellikle doğal dünyada nesnelerin fiziksel uzaklığını ölçmek için tercih edilir. Öklid normunu hesaplamak için, iki nokta arasındaki farkı alıp bu farkların karelerini toplar ve son olarak bu toplamın karekökünü alırız. Formülü şu şekildedir:

$d_{\text{Öklid}}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (q_i – p_i)^2}$

Burada, $\mathbf{p}$ ve $\mathbf{q}$ vektörleridir ve $p_i$ ve $q_i$ noktaların koordinatlarını temsil eder.

Manhattan normu ise Öklid normuna göre biraz farklıdır. Manhattan normu, iki nokta arasındaki doğru mesafe yerine, bu noktalar arasındaki yatay ve dikey mesafelerin toplamını ifade eder. Bu nedenle, Manhattan normu bazen “şehir içi” uzaklık olarak da adlandırılır, çünkü şehirlerde sokaklar genellikle dikdörtgen bir desene sahiptir ve bu norm, iki nokta arasındaki sokaklarda gidilecek mesafeyi ölçmek için kullanılabilir. Manhattan normu, matematiksel olarak, iki nokta arasındaki farkların mutlak değerlerini alıp bunları toplar. Formülü şu şekildedir:

$d_{\text{Manhattan}}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sum_{i=1}^{n} |q_i – p_i|$

Yukarıdaki formülde, $\mathbf{p}$ ve $\mathbf{q}$ yine vektörlerdir ve $p_i$ ve $q_i$ noktaların koordinatlarını temsil eder.

Şimdi Öklid ve Manhattan normları arasındaki farklara daha yakından bakalım:

1. Geometrik Yapı: Öklid normu, noktalar arasındaki en kısa doğru mesafeyi ölçerken, Manhattan normu, noktalar arasındaki yatay ve dikey mesafelerin toplamını ölçer. Örneğin, iki nokta arasında bir engel varsa ve bu engelin etrafından gitmek gerekiyorsa, Öklid normu, bu engeli aşmanın maliyetini dikkate almazken, Manhattan normu, bu engelin etrafından gidilmesi gereken mesafeyi ölçer.

2. Yön İlkesi: Öklid normu, iki nokta arasındaki yönü dikkate alırken, Manhattan normu bunu yapmaz. Öklid normu, iki nokta arasındaki yönü ve rotayı göz önünde bulundururken, Manhattan normu sadece yatay ve dikey mesafeleri dikkate alır ve yönü ihmal eder.

3. Duyarlılık: Öklid normu, iki nokta arasındaki uzaklık arttıkça artan bir hızla büyürken, Manhattan normu daha sabit bir büyüme oranına sahiptir. Öklid normu, noktalar arasındaki uzaklığın karesi üzerinden hesaplandığı için, uzaklığın artmasıyla birlikte hızla büyür. Ancak Manhattan normunda, sadece mutlak farklar toplandığı için, uzaklık artsa bile büyüme oranı daha lineerdir.

4. Uygulamalar: Öklid normu, özellikle fiziksel uzaklıkları ölçmek veya sürekli bir alanı modellemek için daha uygunken, Manhattan normu, örneğin robot navigasyonunda veya yolculuk planlamasında tercih edilebilir. Özellikle, engellerin varlığında veya sabit yolların bulunduğu durumlarda, Manhattan normu daha uygun bir seçenek olabilir.

Özetle, Öklid ve Manhattan normları, farklı problemlerde ve bağlamlarda farklı avantajlar sağlar. Öklid normu, noktalar arasındaki doğru mesafeyi ölçerken, Manhattan normu, yatay ve dikey mesafelerin toplamını ölçer. Bu normlar arasındaki temel farklar geometrik yapılarda, yön ilkesinde, duyarlılıkta ve uygulama alanlarında ortaya çıkar. Her biri kendine özgü avantajlara sahiptir ve kullanıldığı probleme göre tercih edilir.