Gram-Schmidt orthogonalizasyonu, lineer cebirde çoklu boyutlu vektör uzaylarında kullanılan bir tekniktir. Bu teknik, bir lineer bağımsız vektör kümesini alır ve onları birbirinden bağımsız ve birbirleriyle dik olan bir dizi vektöre dönüştürür. Bu işlem, matrislerin veya lineer dönüşümlerin analizinde, lineer denklem sistemlerinin çözümünde ve birçok diğer uygulamada faydalıdır.

Gram-Schmidt orthogonalizasyonu adımları şunlardır:

  1. Başlangıç: Verilen bir vektör kümesi {v1,v2,…,vn}\{v_1, v_2, \ldots, v_n\} olsun. Buradaki amaç, bu vektör kümesini birbirine dik ve bağımsız vektörlerden oluşan bir küme haline getirmektir.

  2. Normalleştirme: İlk olarak, vektör kümesindeki ilk vektörü v1v_1 alıp onu normalleştiririz. Normalleştirme işlemi, vektörün boyutunu 1’e getirerek yapılır. Yani u1=v1∥v1∥u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} şeklinde bir vektör elde ederiz. Burada u1u_1, v1v_1‘in normalize edilmiş halidir ve birim vektördür.

  3. Projeleme ve Çıkarma: Diğer adımlarda, her vektörün kendisinden önceki vektörlerle olan bileşenlerini çıkaracağız. ii‘inci adımda, viv_i‘yi normalize edilmiş ui−1u_{i-1}‘e paralel olan bileşenini bulup çıkaracağız. Bu işlem, viv_i‘nin ui−1u_{i-1} üzerine olan paralel bileşenini bulmak için iç çarpım kullanılarak yapılır. Yani,

    Paralel biles¸en=vi⋅ui−1ui−1⋅ui−1⋅ui−1\text{Paralel bileşen} = \frac{{v_i \cdot u_{i-1}}}{{u_{i-1} \cdot u_{i-1}}} \cdot u_{i-1}

    Sonra, bu paralel bileşeni viv_i‘den çıkararak dik olan bileşeni elde ederiz:

    wi=vi−Paralel biles¸enw_i = v_i – \text{Paralel bileşen}

  4. Normalleştirme (Tekrar): Elde ettiğimiz wiw_i vektörünü normalleştiririz:

    ui=wi∥wi∥u_i = \frac{{w_i}}{{\|w_i\|}}

  5. Tekrarlama: Bu işlem, i=2,3,…,ni = 2, 3, \ldots, n için tekrarlanır. Her adımda bir sonraki vektör, önceki vektörlerden çıkarılarak dikleştirilir ve ardından normalleştirilir.

Bu adımları göz önünde bulundurarak, verilen bir vektör kümesini Gram-Schmidt orthogonalizasyonu kullanarak nasıl dönüştüreceğimizi görelim.

Örnek bir vektör kümesi:

{v1,v2,v3}={[110],[−101],[123]}\{ v_1, v_2, v_3 \} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} ight\}
  1. İlk adımda, v1v_1‘i normalleştirelim:
u1=v1∥v1∥=12[110]=[12120]u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix}
  1. İkinci adımda, v2v_2‘yi u1u_1‘e dikleştirelim:
Paralel biles¸en=v2⋅u1u1⋅u1⋅u1=−12[110]=[−12−120]\text{Paralel bileşen} = \frac{{v_2 \cdot u_1}}{{u_1 \cdot u_1}} \cdot u_1 = \frac{-1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix}
w2=v2−Paralel biles¸en=[−101]−[−12−120]=[−12121]w_2 = v_2 – \text{Paralel bileşen} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{bmatrix}
u2=w2∥w2∥=13[−12121]=[−161616]u_2 = \frac{w_2}{\|w_2\|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}
  1. Üçüncü adımda, v3v_3‘ü hem u1u_1 hem de u2u_2 ye dikleştirelim:
Paralel biles¸enu1=v3⋅u1u1⋅u1⋅u1=32[12120]=[32320]\text{Paralel bileşen}_{u_1} = \frac{{v_3 \cdot u_1}}{{u_1 \cdot u_1}} \cdot u_1 = \frac{3}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix}
Paralel biles¸enu2=v3⋅u2u2⋅u2⋅u2=63[−161616]=[−222]\text{Paralel bileşen}_{u_2} = \frac{{v_3 \cdot u_2}}{{u_2 \cdot u_2}} \cdot u_2 = \frac{6}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}
w3=v3−Paralel biles¸enu1−Paralel biles¸enu2=[123]−[32320]−[−222]=[−12−121]w_3 = v_3 – \text{Paralel bileşen}_{u_1} – \text{Paralel bileşen}_{u_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}
u3=w3∥w3∥=13[−12−121]=[−123−12313]u_3 = \frac{w_3}{\|w_3\|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}

Sonuç olarak, verilen vektör kümesi {v1,v2,v3}\{ v_1, v_2, v_3 \} Gram-Schmidt orthogonalizasyonu uygulanarak {u1,u2,u3}\{ u_1, u_2, u_3 \} haline getirildi. Bu yeni vektör kümesi, birbirine dik ve birim uzunluklu vektörlerden oluşur. Bu yöntem, vektörlerin geometrik anlamda birbirlerine dik olmasını sağlar ve matematiksel hesaplamalarda daha kullanışlı hale getirir.

Kategori:

Bilim

Etiketler:

, ,